Exemple de suite exacte

Pour n 2 NN in mathbb{N} avec n ≥ 1N geq 1 Let Z → ⋅ nZmathbb {Z} stackrel{cdot n} {To} mathbb{Z} être la carte linéaire/homomorphisme des groupes abéliens qui agit par la multiplication ordinaire des entiers par NN. Mais comme A → BA To B est un homomorphisme de groupe, cela signifie de façon équivalente que A → BA To B est une injection. Dans ce cas, le monomorphisme est 2n ↦ 2n et bien qu`il ressemble à une fonction d`identité, il n`est pas sur (i. Cette dernière séquence ne diffère dans la nature concrète de son premier objet de la précédente que 2Z n`est pas le même ensemble que Z, même si les deux sont isomorphes en tant que groupes. Des informations spéciales sont transmises lorsque l`un des espaces est le module zéro. Merci de votre intérêt pour cette question. Il n`est pas possible pour un groupe fini d`être cartographié par l`inclusion (i. On écrit habituellement ceci juste « 0 → A → B → C → 00 To A To B To C To 0 » ou même juste « A → B → CA To B To C ». Une telle notion générale est utile dans des cas tels que la longue séquence exacte de groupes homotopiques où les «groupes» homotopiques pour les petits NN sont des ensembles pointus sans structure de groupe.

Parce qu`il a attiré des réponses de faible qualité ou de spam qui ont dû être supprimées, l`affichage d`une réponse nécessite maintenant 10 réputation sur ce site (le bonus d`association ne compte pas). L`importance des séquences exactes courtes est soulignée par le fait que chaque séquence exacte résulte de «tisser ensemble» plusieurs séquences courtes et exactes qui se chevauchent. La caractérisation de courtes séquences exactes en prop. Voir aussi groupe d`automorphisme externe. La notion de séquence exacte est logique lorsque les espaces sont des groupes, des modules, des complexes de chaînes ou des gerbes. Traditionnellement, cela, ainsi que l`élément d`identité unique, est notée 0 (notation additive, généralement lorsque les groupes sont abéliens), ou notée 1 (notation multiplicative). Il apparaît dans la topologie algébrique dans l`étude de l`homologie relative; la séquence Mayer-Vietoris est un autre exemple. Dans la catégorie des groupes, cela équivaut à la question, quels sont les groupes B a en tant que sous-groupe normal et C comme groupes de facteurs correspondants? Cet exemple fait usage du fait que l`espace tridimensionnel est topologiquement trivial. Les première et troisième séquences sont un peu un cas particulier en raison de la nature infinie de Z.

Les cinq lemmes donnent des conditions sous lesquelles la carte du milieu dans un diagramme commutatif avec des rangées exactes de longueur 5 est un isomorphisme; le court cinq lemme est un cas particulier de celui-ci s`appliquant à de courtes séquences exactes. Les neuf lemmes sont un cas particulier. S`il existe un objet k + 1 {displaystyle a_ {k + 1}} et un morphisme A k → A k + 1 {displaystyle a_ {k} To a_ {k + 1}} de telle sorte qu`un k − 1 → A k → A k + 1 {displaystyle a_ {k-1} To a_ {k} To a_ {k + 1}} est exact , alors l`exactitude de 0 → C k → A k → C k + 1 → 0 {displaystyle 0 à c _ {k} To a_ {k} To c _ {k + 1} To 0} est assurée. La troisième condition est la définition de l`exactitude à BB. Pour comprendre la définition, il est utile de considérer des cas relativement simples où la séquence est finie et commence ou se termine avec le groupe trivial.